TEMA 7. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD

¡Buenos días!

En la entrada de hoy vengo a presentaros a nuestra nueva amiga "La Probabilidad" y todos aquellos problemas que nos van a traer de cabeza de aquí en adelante.

Por regla general la Probabilidad (P, a partir de ahora) e un concepto usado con mucha frecuencia en nuestra sociedad. Por ejemplo decimos que la P de supervivencia a una enfermedad es de más del 50% o que el padecer una enfermedad nosocomial al estar en un hospital es del 15%.

En todos estos ejemplos se está dando una medida de ocurrencia de un evento que es incierto, cuyo resultado se expresa mediante un número entre 0 y 1 o trasladado a %. Cuanto más probabilidad haya de ocurrencia se aproximará al 1 y cuanto menos al 0.

La P se toma como ayuda a la hora de tomar decisiones. Aunque su concepto sea simple (lo usamos de manera intuitiva), su definición es realmente compleja tomando 2 enfoques:

• Objetivo: basado en datos empíricos. Tiene dos formas de entender la P: 
• Clásico o a priori: P de que una persona sea del grupo sanguíneo 0, es del  25%.
• Frecuencia relativa o a posteriori: valor real del suceso, puede que no coincida con la a priori. P del grupo 0 es del 7-8%. 
• Subjetivo: opinión o grado de conciencia. 

PROBABILIDAD SUBJETIVA O PERSONALÍSTICA 

Mide la confianza que el individuo tiene sobre la certeza de una proposición determinada.

       Por ejemplo: Los epidemiológicos se basan en la experiencia para afirmar que el próximo invierno la epidemia de gripe tendrá una P del 0.0018.  

Este enfoque ha dado lugar al enfoque de análisis de datos estadísticos  llamado "Estadística Bayesiana"

PROBABILIDAD OBJETIVA

1. CLÁSICA O A PRIORI 

Estudiada por muchos autores para resolver problemas relacionados con los juegos del azar. La P se calcula mediante un razonamiento abstracto. 

       Por ejemplo: La P de que salga un 6 en un dado es de 1/6. 

Definición: Si un evento puede ocurrir de N formas, las cuales se excluyen mutuamente y con igualmente probables, y si m de esos eventos poseen una característica E, la P de ocurrencia será  de: 

Ejemplo: 

• Si tenemos un dado con 6 caras, no pueden salir 2 caras a la vez, la P = 1/6
• La P de que salga un AS en el póker es: P(As)= 4/52= 7,7%
• La P de que salga un nº par; P (Nº par)= 3/6= 50%

• Ley de los Grandes Números 

La P de que salga un número en el dado a priori es de 1/6, pero puede ser que eso no suceda. Inicialmente esa P real puede no cumplirse, pero si repetimos muchas veces el experimento, la P a posteriori tiende a estabilizarse en torno al valor a priori.

     2.   FRECUENCIA RELATIVA O A POSTERIORI  

Definición: Si un suceso es repetido un GRAN nº de veces, y si algún evento resultante, con la característica E, ocurre m veces, la P a posteriori de la ocurrencia E será aproximadamente parecida a la ocurrencia a priori de éste. 

Ejercicio: Tipos de sangre y frecuencias relativas en una unidad de hematología de un hospital que atiende a 1000 pacientes.

• A priori de cada grupo la P es del 25%
• A posteriori se han obtenido los siguientes datos: 
• O = 32,6%
• A = 48%
• B = 12% 
• AB = 7,4% 

Para ello es importante que: 

• Los eventos sean mutuamente excluyentes: una persona no puede ser del grupo A y B a la vez. 
• La frecuencia relativa de cada evento es un número entre 0 y 1. 
• La suma de todas las frecuencias debe ser igual a 1. 

Ejercicio: Se pretende comprobar en un grupo de 700 mujeres embarazadas a término, si se han controlado durante el embarazo "control prenatal" y su tiene relación con su grado de instrucción:

Ejercicio: Se han empleado 2 tratamientos en un experimento que se aplica a 400 enfermos. De los cuales curan 200, en orden a la tabla siguiente:

EVENTOS O SUCESOS 

Al realizarse un experimento aleatorio diversos resultados pueden darse. A todos estos posibles se les conoce como "espacio muestral" (S)

• Suceso o evento: subconjunto de resultados. Por ejemplo, las veces que sale una cara en un dado. 
• Evento complementario de un suceso A, es aquel que está formado po r los elementos que no están en A y se denomina Ac, es decir, el resto de situaciones en las que por ejemplo no sale el nº 6. 
• Evento único de A y B, resultados experimentales que están en A o B, incluyéndose los que están en ambos también. 
• Evento intersección de A y B, resultados experimentales que están en A y B a la vez. Se dan cuando los eventos son compatibles. Por ejemplo al tirar dos dados que salga el 5 y el 6. 

PROPIEDADES DE LAS PROBABILIDADES 

Cuando 2 sucesos se excluyen mutuamente (sacar cara y cruz a la vez), para calcular la P de sacar cara o cruz, simplemente habría que sumar los 2 conjuntos: 

• P(AUB) = P(A)+P(B)

Cuando no son mutuamente excluyentes (ser mujer y ser rubia), la P de que se produzca A o B sería la suma de los dos subconjuntos menos la intersección. 

• P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

Ejemplo: Si hay 4 mujeres y 2 rubias y 4 hombres y 2 rubios: 

• P(Rubia o mujer)= 4+4-2 = 6. 

Cuando A y B son eventos independientes, la ocurrencia de uno no influye en la ocurrencia del otro. 

• P(A∩B)= P(A)xP(B)

REGLAS BÁSICAS: TEORÍA DE LA PROBABILIDAD. 

1. Las P oscilan siempre entre 0 y 1. La P de un suceso contrario es igual a P(A')= 1-P(A)
2. La P de un suceso imposibles = 0 
3. La P condicionada de un suceso A a otro B se expresa : 

Ejercicio: Un 15% de pacientes atendidos en la ocnsulta de enfermería padecen hipertensión arterial y el 25% padecen hiperlipemia. El 5% son hipertensos e hiperlipémicos. 

Ejercicio: tenemos 2 tratamientos en un ensayo: 

TEOREMA DE BAYES 

Expresa la P condicional de un evento aleatorio A dado un elemento B en términos de la distribución de P condicional del evento B dado en A y la distribución de P marginal de sólo A. 

En términos mas generales, vincula la P de A dado B, con la P de B dado A. Por ejemplo, sabiendo la P de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber la P de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza. 

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD EN VARIABLES DISCRETAS: BINOMINAL Y POISSON

• La distribución binominal es un modelo matemático de distribución teórica de variables discretas. 
• Cuando se producen situaciones en las que sólo existen dos posibilidades 
• El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente. 
• La P del suceso A en constante, la representamos por p y no varía de una prueba a otra. La P de A' la representamos por q. 
• La distribución de Poisson
• Se utiliza en situaciones donde los sucesos son impredecibles y de ocurrencia aleatoria. 
• Permite determinar la P de ocurrencia de un siceso con resultado discreto. 
• Es mu útil cuando la muestra es grande y la P de éxito pequeña. 

DISTRIBUCIÓN NORMAL 

Gauss en su momento comprobó que muchas variables continuas tenían un comportamiento muy similar lo que al representarlas nos salía una campana, donde aparecían los valores de medida central y otras entorno a ésta. 

Si a la media de unos valores que siguen una distribución normal, le sumamos y restamos x desviación típica (S), en ese rango de valores encontraremos diferentes % de observaciones: 

• ±1 =     68,25% de las observaciones.
• ±1,95= 95% de las observaciones. 
• ±2 =     95,45% de las observaciones.
• ±2,58= 99% de las observaciones. 
• ± 3 =    99,73% de las observaciones

RELACIÓN CON LA CAMPANA DE GAUSS

• Se utilizará siempre son variables continuas que siguen una distribución normal. 
• En N grandes. 

A la hora de tomar los valores de la tabla, es más fácil dibujar la gráfica de Gauss y ver en que posición se encuentran los valores que estamos tratando.
Os dejo aquí el enlace donde consultar las tablas:

https://intentodeenfermeralsp.blogspot.com.es/p/blog-page_28.html


Y hasta aquí el séptimo tema, intentaré subir más ejercicios similares a éstos últimos para que queden más claros los conceptos,
Un saludo!, Lorena S. 😊